千醬！我真的好喜歡你啊!!爲了你我要推導π的展開式！!!----

有一天，群裏的朋友在萌娘百科上注意到

光是背出來怎麽夠呢??爲了千醬，我們當然要把它推導出來啊!!

Solution

如題，對於 $\mathrm{R}$ 上的任意周期函數 $f(x)$ ，…

可展開為三角級數

$$\begin{align} f(x) = \frac{\alpha_0}2 + \sum_{k=1}^{\infty} ({\alpha}_k \cos{kx} + {\beta}_k \sin{kx}) \\ {\alpha}_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cos{kx} \mathrm{d}x}, 其中 k = 0, 1, 2, \cdots \\ {\beta}_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {f(x) \sin{kx} \mathrm{d}x}, 其中 k = 1, 2, \cdots \\ \end{align}$$

根據Fourier展開式，函數 $f(x)$ 中的Fourier係數展開如上。

根據式 $(2), (3)$ 得到函數 $\psi(x) = x^2$ 與 $\phi(x) = x$ 的Fourier係數

1. 對於函數 $\psi(x) = x^2$ ，根據積分第一類換元法凑微分法、分部積分公式、Newton-Leibniz公式微積分基本定理等結論，我們得到

   $$\begin{align*} {\alpha}_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \mathrm{d}x = \frac{2}3 {\pi}^2, \\ {\alpha}_k &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos{kx} \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\pi k^3} \int_{-\pi}^{\pi} {(kx)}^2 \cos{kx} \mathrm{d}{(kx)} \\ &= \frac{1}{\pi k^3} \int_{-k\pi}^{k\pi} t^2 \cos t \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{\pi k^3} \int_{-k\pi}^{k\pi} t^2 \mathrm{d}{(\sin t)} \\ &= \frac{1}{\pi k^3} {[ \int t^2 \mathrm{d}{(\sin t)} ]}_{-k\pi}^{k\pi} \\ &= \frac{1}{\pi k^3} {[ t^2 \sin t - \int \sin t \mathrm{d}{(t^2)} ]}_{-k\pi}^{k\pi} \\ &= \frac{1}{\pi k^3} {[ t^2 \sin t - 2 \int t \sin t \mathrm{d}{t} ]}_{-k\pi}^{k\pi} \\ &= \frac{1}{\pi k^3} {[ t^2 \sin t + 2 \int t \mathrm{d}{(\cos t)} ]}_{-k\pi}^{k\pi} \\ &= \frac{1}{\pi k^3} {[ t^2 \sin t + 2[ t \cos t - \int \cos t \mathrm{d}t ]]}_{-k\pi}^{k\pi} \\ &= \frac{1}{\pi k^3} {[ t^2 \sin t + 2[ t \cos t + \int \mathrm{d}{(\sin t)} ]]}_{-k\pi}^{k\pi} \\ &= \frac{1}{\pi k^3} {[ t^2 \sin t + 2[ t \cos t + \sin t ]]}_{-k\pi}^{k\pi} \\ &= \frac{2}{\pi k^3} {[ t \cos t ]}_{-k\pi}^{k\pi} \\ &= \frac{2}{\pi k^3} {[{[ t \cos t ]}_{k\pi} - {[ t \cos t ]}_{-k\pi}]} \\ &= \frac{2}{\pi k^3} {[ k\pi \cos(k\pi) - (-k\pi) \cos(-k\pi) ]} \\ &= \frac{2}{\pi k^3} {[ k\pi \cos(k\pi) + k\pi \cos(k\pi) ]} \\ &= \frac{4}{\pi k^3} k\pi \cos(k\pi) \\ &= {(-1)}^k \frac{4}{k^2}, \\ {\beta }_k &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin{kx} \mathrm{d}x = 0, \\ \end{align*}$$

   上述各項代入三角級數表達式得到

   $$\psi(x) = \frac{ {\pi}^2}3 + 4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ {(-1)}^k}{k^2} \cos{kx},$$

   $x = \pi$ 時，得到

   $$\begin{align*} {\pi}^2 = \psi(\pi) &= \frac{ {\pi}^2}3 + 4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ {(-1)}^k}{k^2} \cos{k\pi} \\ &= \frac{ {\pi}^2}3 + 4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ {(-1)}^k}{k^2} {(-1)}^k \\ &= \frac{ {\pi}^2}3 + 4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}, \\ \frac{2}3{\pi}^2 &= 4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}, \\ \frac{ {\pi}^2}6 &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}, \\ \therefore \pi &= \sqrt{6 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} }. \\ \end{align*}$$

2. 對於函數 $\phi(x) = x$ ，與上述過程類似地，我們得到

   $$\begin{align*} {\alpha}_k &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos{kx} \mathrm{d}x = 0, \\ {\beta }_k &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin{kx} \mathrm{d}x = (-2) \frac{ {(-1)}^k}k, \\ \phi(x) &= (-2) \sum_{k=1}^{\infty} { {(-1)}^k \frac{\sin{kx} }k }, \\ \frac{\pi}2 = \phi(\frac{\pi}2) &= (-2) \sum_{k=1}^{\infty} { {(-1)}^k \frac{\sin{\frac{k}2\pi} }k } \\ &= (-2) \sum_{m=1}^{\infty} \frac{ {(-1)}^m }{2m-1}, \\ \therefore \pi &= (-4) \sum_{m=1}^{\infty} \frac{ {(-1)}^m }{2m-1}. \\ \end{align*}$$

綜上所述，我們得到 $\pi$ 的兩種三角級數形式的表達式

$$\begin{align*} \pi &= \sqrt{6 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} } = \sqrt{6(1 + \frac{1}4 + \frac{1}9 + \cdots + \frac{1}m + \cdots)},\\ \pi &= (-4) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ {(-1)}^k }{2 k - 1} = 4[1 - \frac{1}3 + \frac{1}5 - \frac{1}7 + \cdots + \frac{ {(-1)}^m }{2 m - 1} + \cdots].\\ \end{align*}$$

References

1. 復旦大學數學系: 《數學分析》第四版(下冊), 歐陽光中 朱學炎 金福臨 陳傳璋 編, 高等教育出版社, 2018年8月 (初版1978年5月).